Мы привыкли, говоря о составе целого, пользоваться процентами. Процент возникает тогда, когда нечто целое делят на сто частей, это сотая часть чего-либо. Но всегда ли целое подразделяют именно на сто частей? Не всегда, в природе и обществе много ситуаций, когда целое рассматривается подразделяющимся на тысячные доли (промилле). Так, например, в промилле измеряют соленость морской воды или демографический прирост, или уклон железнодорожного пути. Или, например, ppm – одна миллионная часть чего-либо (“parts per million” ), которой пользуются, например, в токсикологии, говоря о микросодержаниях тех или иных веществ в организме. Но процент, промилле, ppm – это кратные и легко переводимые друг в друга величины. Но бывают случаи, когда целое подразделяется не на количество частей, кратных десяти, а на любое число частей, причем необязательно натуральное , а принадлежащее множеству действительных чисел и даже алгебраических выражений. Например, пирог можно разделить на 16, 25, 37, 65 и любое другое целое число частей, а также дробное число частей, например на 17,5; 39,8 и т.д. (это когда после того как исчерпались равные части, от пирога остаются еще маленькие кусочки). Вот так, как пирог, разделенный на какое-то количество равных частей и остатков и “довесков”, рассматривают такую химическую систему, как раствор. Если его состав выражают в процентах, то предполагается, что масса раствора распределена так, что разное количество сотых ее частей приходится на различные компоненты раствора (растворенные вещества, растворитель). А в ряде расчетов состава раствора, получающегося при сливании двух или более растворов, концентрация которых известна, возникает ситуация, когда масса получившегося раствора подразделяется на неизвестное число частей, т.е. уже на выражение, например на (37-х) или (56+х). При этом нахождению x и посвящен расчет состава раствора.
Один из таких простых методов расчета состава растворов, известный как “конверт Пирсона” или “правило креста” давно применяется в химии. Однако понимание его вызывает часто затруднения именнно того плана, что учащиеся и студенты привыкли выражать состав целого в количестве сотых долей, т.е. в процентах, а подразделение этого целого на произвольное количество частей является непривычным и вызывает ощущение сложности. Попробуем разобраться в сущности этого подхода на примере одной задачи на расчет состава одного из компонентов раствора, образующегося при сливании трех других.
Рассмотрим такую задачу. Если смешать 29- процентный раствор кислоты и 33- процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 19-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили 39-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 29-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение
Как видим, не существует принципиального различия в уровне сложности расчета подразделение состава раствора на сто массовых частей (проценты) и произвольное количество массовых частей.
Оба представленных метода решения задачи на смешение растворов примерно одинаковы по сложности, так как основаны на делении системы
на массовые части; одинаков по сложности системы уравнений (хотя в правиле креста возникает три уравнения в системе, но если два первых уравнения имеют вид f1(m1, m2, w3)=f2(m1, m2, w3), то третье уравнение имеет вид w3=f(m1, m2), т.е. разрешено относительно w3. При таком условии система из трех уравнений фактически сводится к системе из двух уравнений и не превосходит по сложности второй способ расчета.
Методическая насыщенность “правила креста” (“конверта Пирсона”) связана лишь с наличием понятий “массовые части исходных растворов в полученном растворе”, на математическом смысле которых мало акцентируется внимание при рассмотрении данной темы, но он очень важен в расчетах количественных соотношений между компонентами растворов.