Блог

Два квантовых кота или почему электрон не падает на ядро?

Ответить на этот вопрос можно в рамках теории Бора-Резерфорда, а можно с позиций квантовой механики. Согласно Бору, состояние электрона в атоме задается системой трех постулатов:
1) постулатом стационарных состояний, в соответствии с которым электрон в атоме может находиться на определенных энергетических уровнях (орбитах), при движении по которым атом не испускает и не поглощает излучения;
2) постулатом частот, в соответствии с которым при переходе с одного энергетического уровня на другой выделяется энергия, равная разности энергий уровней, между которыми осуществляется переход, и пропорциональная частоте излучения;
3) постулатом квантования орбит, в соответствии с которым механический момент движения электрона квантуется.
При этом энергия, выделяющаяся или поглощающаяся при переходе электрона с уровня на уровень, изменяется на дискретную величину (порцию), называемую квантом. Идею квантования энергии электрона предложил Планк, когда искал взаимосвязь между формулой Вина, описывающей спектр черного тела при высоких частотах, и формулой Рэлея-Джинса, характеризующей спектр черного тела при малых частотах. Решение этой проблемы нестыковки двух закономерностей Планк увидел в гипотезе о том, что энергия электрона меняется дискретно, обратно пропорционально квадратам номеров орбит, между которыми осуществляется переход (т.е. главным квантовым числам). Ниже рассмотрен подробный вывод зависимостей радиуса и скорости электрона, движущегося на определенном энергетическом уровне, его энергии на этом уровне и частоты, соответствующей переходу электрона с одного энергетического уровня на другой.

Получается, что ядру соответствует формально «нулевой» энергетический уровень, на котором электрон находиться не может, поскольку главное квантовое число может принимать только целые положительные числа. Также невозможен переход с первого энергетического уровня на нулевой (исключение составляет K-захват электрона ядром, т.е. ситуация, при которой электрон с первого энергетического уровня захватывается протоном ядра, который при этом переходит в нейтрон с выделением нейтрино. Уже для второго (L) уровня этот процесс маловероятен).
Следует обратить внимание, что согласно формуле (13), энергия электрона в атоме принимает только отрицательные значения и при увеличении квантового числа n, отрицательная величина энергии электрона снижается, что отвечает увеличению энергии электрона. Таким образом, при квантовании электрона с уровня m на уровень n , причем n>m, энергия поглощается, а при n<m энергия испускается. При этом и спектр поглощения и спектр эмиссии дискретны (линейчаты). При n→∞ E→0 и это состояние соответствует выходу электрона из атома в свободное состояние (т.е. процессу ионизации атома). В свободном состоянии энергия электрона распределена непрерывно и принимает положительные значения.
С позиций квантовой механики состояние электрона в атоме задается принципом Гейзенберга, согласно которым, координата и импульс электрона, а также энергия и время не могут одновременно принимать точные значения; и могут быть измерены с определенными интервалами погрешности, которые взаимосвязаны между собой соотношениями:
ΔpxΔx≥ħ/2; ΔpyΔy≥ħ/2; ΔpzΔz≥ħ/2; ΔpzΔz≥ħ/2; ΔEΔτ≥ħ/2.
является следствием корпускулярно-волнового дуализма, присущего электрону и другим субатомным частицам. Надо сказать, что когда квантовая механика ворвалась в физическую картину мира, то она весьма серьезно пошатнула теоретический фундамент естествознания, основанный в то время на классической механике и термодинамике. Научной общественности предстояло осмыслить те вещи микромира, которые не имели аналогов в макромире. И одним из средств этого осмысления стало художественное произведение, написанное, правда, математиком. Льюис Кэррол в своей “Алисе в стране чудес” на примере причудливых персонажей и происходящих с ними событий, сумел представить обьекты и свойства микромира. Вот чеширский кот, который исчезая, оставляет свою улыбку. В квантовой физике этот парадокс так и известен, как “квантовый чеширский кот“. И этот парадокс состоит в том, что при определенных условиях квантовый обьект и его свойства отделяются друг от друга (как кэрроловский кот от своей улыбки). В этом смысле чеширский кот-брат кота Шредингера, оба они-квантовые парадоксы. Его собрат-кот Шредингера-сидит в ящике размером с атом и представляет собой суперпозицию двух состояний – живого и мертвого, точно так же как вероятностная функция, описывающая соседствующий с котом атом радиоактивного вещества, представляет собой линейную комбинацию распавшегося и нераспавшегося состояний атома. Одно из изданий кэрроловской “Алисы” выпущено издательством “Физматлит” в 1991 г. и прекрасно откомментировано Мартином Гарднером и другими учеными.

Рис. 1. “Алиса в Стране чудес. Алиса в Зазеркалье”. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.-2-е стер. изд-е,1991 г. – 368 с.

В 2015 г. группа физиков под руководством  Фабрицио Карбоне из Федеральной политехнической школы Лозанны (Швейцария) сумели получить цифровое фото фотонов находящихся в состоянии частицы и волны одновременно (Piazza, L. et al. Simultaneous observation of the quantization and the interference pattern of a plasmonic near-field. Nat. Commun. 6:6407 doi: 10.1038/ncomms7407 (2015)). На фото отчетливо видны как волновые, так и корпускулярные проявления фотонов.

Рис. 2. Фотография корпускулярно-волнового дуализма фотонов (https://actu.epfl.ch/news/the-first-ever-photograph-of-light-as-both-a-parti/)

В соответствии с принципом Гейзенберга относительно импульса и координаты, пребывание электрона вблизи ядра, объем которого можно принять точечным, по сравнению с объемом атома, соответствует наличию у электрона точной координаты , и соответственно ее малого интервала разброса значений. Но в силу неравенства Гейзенберга интервал разброса значений импульса и соответственно скорости электрона возрастает, и скорость электрона может стать столь высокой, что электрон, обладая такой скоростью, быстро покинет расстояние вблизи ядра. При этом вероятность нахождения электрона вблизи ядра (т.е. при величине радиуса r=0), определяемая квадратом модуля волновой функции |ѱ(r=0)|2 сколь угодно мала.

 

С днем знаний!

Великий Гете в “Фаусте” сказал:
“Когда в вас чувства нет, всё это труд бесцельный;
Нет, из души должна стремиться речь,
Чтоб прелестью правдивой, неподдельной
Сердца людские тронуть и увлечь!
А вы? Сидите, сочиняйте,
С чужих пиров объедки подбирайте –
И будет пёстрый винегрет
Поддельным пламенем согрет.
Когда таков ваш вкус – пожалуй, этим
Вы угодите дуракам и детям;
Но сердце к сердцу речь не привлечёт,
Коль не из сердца ваша речь течёт.”

Желаю вам овладевать знаниями со всей пытливостью ума, испытывать границы бытия со всей настойчивостью воли, сделать дальних ближними со всей бескрайностью чувства и остаться собой со всем бессмертием души.

О том, обязательно ли делить пирог на сто частей, или об одной методике расчета в химии растворов

Мы привыкли, говоря о составе целого, пользоваться процентами. Процент возникает тогда, когда нечто целое делят на сто частей, это сотая часть чего-либо. Но всегда ли целое подразделяют именно на сто частей? Не всегда, в природе и обществе много ситуаций, когда целое рассматривается подразделяющимся на тысячные доли (промилле). Так, например, в промилле измеряют соленость морской воды или демографический прирост, или уклон железнодорожного пути. Или, например, ppm – одна миллионная часть чего-либо (“parts per million” ), которой пользуются, например, в токсикологии, говоря о микросодержаниях тех или иных веществ в организме. Но процент, промилле, ppm – это кратные и легко переводимые друг в друга величины. Но бывают случаи, когда целое подразделяется не на количество частей, кратных десяти, а на любое число частей, причем необязательно натуральное , а принадлежащее множеству действительных чисел и даже алгебраических выражений. Например, пирог можно разделить на 16, 25, 37, 65 и любое другое целое число частей, а также дробное число частей, например на 17,5; 39,8 и т.д.  (это когда после того как исчерпались равные части, от пирога остаются еще маленькие кусочки). Вот так, как пирог, разделенный на какое-то количество равных частей и остатков и “довесков”, рассматривают такую химическую систему, как раствор. Если его состав выражают в процентах, то предполагается, что масса раствора распределена так, что разное количество сотых ее частей приходится на различные компоненты раствора (растворенные вещества, растворитель). А в ряде расчетов состава раствора, получающегося при сливании двух или более растворов, концентрация которых известна, возникает ситуация, когда масса получившегося раствора подразделяется на неизвестное число частей, т.е. уже на выражение, например на (37-х) или (56+х). При этом нахождению x и посвящен расчет состава раствора.
Один из таких простых методов расчета состава растворов, известный как “конверт Пирсона” или “правило креста” давно применяется в химии. Однако понимание его вызывает часто затруднения именнно того плана, что учащиеся и студенты привыкли выражать состав целого в количестве сотых долей, т.е. в процентах, а подразделение этого целого на произвольное количество частей является непривычным и вызывает ощущение сложности. Попробуем разобраться в сущности этого подхода на примере одной задачи на расчет состава одного из компонентов раствора, образующегося при сливании трех других.
Рассмотрим такую задачу. Если смешать 29- процентный раствор кислоты и 33- процентный раствор этой же кислоты и добавить 10 кг чистой воды, получится 19-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили 39-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 29-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение

Как видим, не существует принципиального различия в уровне сложности расчета подразделение состава раствора на сто массовых частей (проценты) и произвольное количество массовых частей.
Оба представленных метода решения задачи на смешение растворов примерно одинаковы по сложности, так как основаны на делении системы
на массовые части; одинаков по сложности системы уравнений (хотя в правиле креста возникает три уравнения в системе, но если два первых уравнения имеют вид f1(m1, m2, w3)=f2(m1, m2, w3), то третье уравнение имеет вид w3=f(m1, m2), т.е. разрешено относительно w3. При таком условии система из трех уравнений фактически сводится к системе из двух уравнений и не превосходит по сложности второй способ расчета.
Методическая насыщенность “правила креста” (“конверта Пирсона”) связана лишь с наличием понятий “массовые части исходных растворов в полученном растворе”, на математическом смысле которых мало акцентируется внимание при рассмотрении данной темы, но он очень важен в расчетах количественных соотношений между компонентами растворов.

Поэма. Сон спящей царевны.(Николай Гумилев)

Призывный шум веретена,
Царевна уколола палец,
И пусть отважный принц скиталец
Бредет теперь сквозь дебри сна
За ней. Над ним висит луна
И небо черное без дна
С таким отчаяньем провала
Что даже звезды растеряло.

 

 

 

 

Continue reading

Роль математики в психологии

Сегодня те, кто не очень успевает в математике и физике, любят говорить: ну зачем мне (или ребенку) точные науки, если он гуманитарий, или, того хлеще, желает поступить учиться на психолога. Можно удивится некомпетентности этой точки зрения. Математическая психология как наука начала формироваться еще с 30-х годов прошлого столетия, у ее истоков стояли такие математики, как основатель кибернетики фон Нейман, Гербарт, Крылов и пр. Приведу такой пример из саратовской университетской школы психологов. В 70-е годы прошлого века в моду вошла так называемая математическая психология, в которой математические методы радиофизики, такие, как например, аппарат нелинейной динамики, в котором странные аттракторы (сложные самоподобные структуры) моделировали психологические процессы. Создалась сперва лаборатория математической психологии, а потом и кафедра. И тогда многие радиофизики стали переходить в область психологии: Рашид Хасьянович Тугушев, Алексей Алексеевич Понукалин, сегодня продолжателями их дела являются профессор Храмов и другие. Психология была как раз той первой пограничной между гуманитарными и физико-математическими науками областью, после которой нелинейная динамика стала успешно применяться и в других научных исследованиях в гуманитарных областях: социологии, культурологии и прочем. Хотя сама психология изначально не совсем гуманитарна. Это все-таки естественно-научная дисциплина, потому она первой легко и восприняла математику, как язык исследования. Для тех, кто хочет визуально понять, с каким объемом математического аппарата приходится иметь дело психологу, приведу содержание Журнала математической психологии https://www.journals.elsevier.com/journal-of-mathematical-psychology/announcements – ведущего издания в этой области.

 

 

 

 

В городке некрасивых женщин
И невыспавшихся детей
На балконах бельё трепещет,
И у лип голубая тень.
Вьётся улица по оврагу,
Собираются у ларька
Алкоголики и трудяги,
Непрорвавшиеся за МКАД.
Всё равно – напиваться в днище,
В бытовухе ли утонуть –
От роддома и до кладбища
На автобусе пять минут,
И случайною остановкой,
У любого за жизнь – одна,
Непогожая и короткая,
Ослепительная весна.

стихотворение Марии Фроловской

 

“Вечерело. Золотые лучи ликовали, и торжественным гимном Эдему звучало Солнце. Безропотно бледнел Запад — к Западу был обращен Алтарь, расположенный высоко над землею. Гряда облаков простиралась над Лаврой, — как нить жемчужин. Из алтарного окна видны были четкие дали, и Лавра высилась как горний Иерусалим. Всенощная… “Свете Тихий” совпадало с закатом. Пышно нисходило умирающее Солнце. Сплетались и расплетались древние, как мир, напевы; сплетались и расплетались ленты фимиама. Ритмически пульсировало чтение канона. Что-то в полумгле вспоминалось, эдемское…. И на “Слава Тебе, показавшему нам Свет” знаменательно приходилось наступление тьмы внешней, которая тоже есть свет, и Звезда Вечерняя сияла тогда в алтарное окно, а в сердце опять восходила неувядаемая радость пещерного сумрака. Тайна вечера соединялась с тайной утра, и обе были одно”. Павел Флоренский “У водоразделов мысли. (На маковце),” 1913.

Победа в конкурсе на лучший объект интеллектуальной собственности

26 апреля 2018 состоялось подведение итогов конкурса «Лучшее бизнес-предложение объекта интеллектуальной собственности», проводимого в СГТУ имени Гагарина Ю.А. Конкурсная комиссия высоко оценила потенциал поданных заявок и определила пять проектов-победителей. В номинации «Лучшее предложение к продаже патента на полезную модель» победителем стал патент на полезную модель № 169004 «Сорбционный фильтр», авторами которого являются ученые ЭКЛ – профессор Ольга Атаманова, доцент Антон Косарев, профессор Елена Тихомирова, аспирант Мария Истрашкина.

Однажды некий юный кот
Решил ловить мышей — и вот
Подготовлять он начал сразу
Теоретическую базу.
Достал по крысам реферат:
Год тридцать первый, «Котиздат»,
Мышиных нор каталог краткий,
Конспектов чьих-то две тетрадки,
Курс «Грызуны жилого дома»,
И «Мышеведенья» три тома,
А также русский перевод
Английской книжки «Мышь и кот»,
Написанной по русской книжке
Под заголовком «Кошки-мышки». Continue reading

На страстной

Еще кругом ночная мгла.
Еще так рано в мире,
Что звездам в небе нет числа,
И каждая, как день, светла,
И если бы земля могла,
Она бы Пасху проспала
Под чтение Псалтыри.

Еще кругом ночная мгла.
Такая рань на свете,
Что площадь вечностью легла
От перекрестка до угла,
И до рассвета и тепла
Еще тысячелетье.
Еще земля голым-гола,
И ей ночами не в чем
Раскачивать колокола
И вторить с воли певчим.

И со Страстного четверга
Вплоть до Страстной субботы
Вода буравит берега
И вьет водовороты.
И лес раздет и непокрыт,
И на Страстях Христовых,
Как строй молящихся, стоит
Толпой стволов сосновых.

А в городе, на небольшом
Пространстве, как на сходке,
Деревья смотрят нагишом
В церковные решетки.

И взгляд их ужасом объят.
Понятна их тревога.
Сады выходят из оград,
Колеблется земли уклад:
Они хоронят Бога.
И видят свет у царских врат,
И черный плат, и свечек ряд,
Заплаканные лица —
И вдруг навстречу крестный ход
Выходит с плащаницей,
И две березы у ворот
Должны посторониться.

И шествие обходит двор
По краю тротуара,
И вносит с улицы в притвор
Весну, весенний разговор
И воздух с привкусом просфор
И вешнего угара.
И март разбрасывает снег
На паперти толпе калек,
Как будто вышел Человек,
И вынес, и открыл ковчег,
И все до нитки роздал.

И пенье длится до зари,
И, нарыдавшись вдосталь,
Доходят тише изнутри
На пустыри под фонари
Псалтирь или Апостол.

Но в полночь смолкнут тварь и плоть,
Заслышав слух весенний,
Что только-только распогодь,
Смерть можно будет побороть
Усильем Воскресенья.

Борис Пастернак (1946)